Teorie – nieskończoność i granice

Pierwsze otarcie o nieskończoność każdy miewa, gdy poznaje liczby naturalne: 0, 1, 2, 3… no ale gdzie tu będzie koniec? No właśnie koniec nie istnieje. To jest pierwsza rzecz jaką musimy zaakceptować. Można wybrać dowolną liczbę, po czym podać dowolną ilość liczb większych od niej. Liczebność zbiorów w matematyce określamy liczbami kardynalnymi, czyli w zasadzie są to właśnie liczby naturalne. Wszystko wygląda pięknie, gdy mamy do czynienia ze zbiorem przeliczalnym skończonym. Np. 5-elementowym, wtedy moc zbioru (czyli liczebność zbioru) jest równa 5, i właśnie tę piątkę nazywamy liczbą kardynalną.
No dobrze, a teraz jak mamy określić ilość elementów w zbiorze, który ma ich nieskończenie wiele? No właśnie, i tu pojawia się pytania. Jakby tego było mało, dodam, nieskończoność nieskończoności nierówna. ; ).
Moc zbioru liczb naturalnych jest równa alef zero. Przyjmuje się, że jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Dalej będziemy rozpatrywać równoliczność zbiorów. Zbiory są równoliczne, jeśli istnieje bijektywne odwzorowanie jednego w drugi. Mówiąc najprostszym językiem – jeśli da się każdy element z jednego zbioru połączyć w parę z elementem z drugiego zbioru, to są one równoliczne. Np. Mamy zbiór {1,2,3,4,5} oraz {a,b,c,d,e} są one równoliczne ponieważ mogę stworzyć następującą funkcję: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=d, f(5)=e.

Definicja wydaje się bardzo klarowna, prawda? To teraz słuchajcie. Czy wiecie, że liczb parzystych jest tyle samo co liczb parzystych i nieparzystych? Czysty absurd, prawda?
f(x)=2x
Nasza funkcja numeruje kolejne liczby parzyste.
f(1)=2 – czyli pierwszą liczbą parzystą jest dwa.
f(2)=4 – drugą liczbą parzystą jest cztery.

f(10)=29 – dziesiątą liczbą parzystą jest dwadzieścia
itd.

Intuicja początkowo podpowiada nam tak – przecież jedno [wartości – czyli liczby parzyste] rośnie szybciej od drugiego [argumenty – czyli numerek liczby parzystej] i gdzieś tam daleko będą już tak bardzo od siebie oddalone, że pominiemy połowę [Ach, dosłownie połowę xD] liczb. Otóż nie. Haczyk polega na tym, że nigdy nie skończymy liczyć dlatego niczego nie pominiemy. ; )
I jeszcze dla dociekliwych dowód. Wybierz dowolny numer liczby parzystej. Ta liczba parzysta będzie dwa razy większa niż jej numer. Wybierz dowolną liczbę parzystą, jej numer będzie od niej dwa razy mniejszy. Czy coś pominąłem? No nie, wszystko jest elegancko ułożone w pary.

Gdy się o tym dowiedziałem, nie potrafiłem zaakceptować tego faktu. Tak na „chłopski rozum” skoro mam nieparzyste i parzyste, to skoro wezmę tylko część z nich to musi to być mniej niż całość. W zasadzie to tak, ale nie działa to w przypadku nieskończoności. Wniosek: jeśli nieskończoność podzielę na dwa, to nadal to będzie nieskończoność. Oto jest właśnie magia nieskończoności. ; )

Jeszcze uogólniając powyższe stwierdzenie, z naszego zbioru liczb naturalnych mogę wyrzucić dowolną skończoną liczbę elementów i będzie on równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (f(x) = x + b, gdzie b to dowolna liczba naturalna). Można również wziąć zbiór dowolnych wielokrotności (np. 1000, 2000, 3000…) i również tak będzie.

Jeszcze bardzo ważna informacja. NIESKOŃCZONOŚĆ TO NIE JEST LICZBA, TYLKO SYMBOL!. Gdy liczymy pewne granice, czy to funkcji, czy ciągów czy zadanych wyrażeń [w zasadzie na jedno wychodzi] możemy otrzymać nasz symbol nieskończoności. Ciekawe jest, iż można się wtedy natknąć na wyrażenie typu nieskończoność minus nieskończoność, czy zero dzielone przez zero. Takie symbole nazywamy nieoznaczonymi. W matematyce jest tak, że wszystko musi mieć jednoznaczną odpowiedź. Dlaczego wspomniana wyżej nieskończoność minus nieskończoność jest symbolem nieoznaczonym? Otóż dlatego, że w zależności od zagadnienia wynikiem może być skończona lub też nieskończona wartość.

I jeszcze jedna ważna sprawa, które niektórych zapewne ciekawi. Dlaczego nie dzielimy przez zero?
Zagadnienie to można łatwo wytłumaczyć w oparciu o teorie granic. Mamy coś takiego jak granica lewostronna i prawostronna w punkcie. Jeśli będziemy dzielić 1 przez coraz to mniejsze liczby, zbliżając się do zera z prawej strony otrzymamy plus nieskończoność, tj.
1/0,1 = 10
1/0,01 = 100
1/0,001 = 1000
Widzicie? Dzielę przez liczbę coraz bliższą zeru, a wynik sobie rośnie i rośnie. Mogę otrzymać dowolnie dużą wartość dzieląc przez liczbę wystarczająco bliską zeru. Gdy nasz dzielnik zmierza do zera od prawej strony, to naszą granicą w zerze jest plus nieskończoność. Więc granica prawostronna wynosi właśnie plus nieskończoność.

Jeśli zbliżam się do zera od lewej strony dziele przez liczby ujemne, tj.
1 / (-0,1) = -10
1 / – (-0,01) = -100
1 / (-0,001) = -1000
Tym razem im bliżej jestem zera, tym bardziej wynik ucieka nam do minus nieskończoności, i to jest właśnie granica lewostronna. Otrzymaliśmy zatem następującą rzecz – w zależności czy zbliżamy się z lewej czy prawej strony otrzymujemy odpowiednio minus lub plus nieskończoność. Skoro granice lewostronna i prawostronna są różne, granica w punkcie nie istnieje. Wniosek: Przy dzieleniu przez zero wynik nie istnieje, dlatego właśnie nie dzielimy przez zero.

Powrót do działu Teorie